Номер 828 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 828.
Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения (a – 1)²(1/a² – 1 + 1/a² – 2a + 1) + 2/a + 1 является положительным числом?
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала упростите выражение в скобках, приведя подобные дроби. Затем разложите разность кубов 1 – a³ = (1 – a)(1 + a + a²) и заметьте, как сокращаются множители. В итоге должна получиться дробь вида (a + 1)²/a².
Решение по шагам
Упростим выражение пошагово.
Дано: (a – 1)²(1/a² – 1 + 1/a² – 2a + 1) + 2/a + 1
Шаг 1. Упростим выражение в скобках: 1/a² – 1 + 1/a² – 2a + 1
Приведём подобные: 1/a² + 1/a² – 1 + 1 – 2a = 2/a² – 2a
Вынесем общий множитель: 2/a² – 2a = 2(1/a² – a) = 2(1 – a³)/a²
Шаг 2. Перепишем исходное выражение: (a – 1)² · 2(1 – a³)/a² + 2/a + 1
Шаг 3. Заметим, что 1 – a³ = (1 – a)(1 + a + a²)
Получаем: (a – 1)² · 2(1 – a)(1 + a + a²)/a² + 2/a + 1
Шаг 4. Заметим, что (a – 1)² = (1 – a)²
Получаем: (1 – a)² · 2(1 – a)(1 + a + a²)/a² + 2/a + 1
= 2(1 – a)³(1 + a + a²)/a² + 2/a + 1
Шаг 5. Проще переписать первую часть: = –2(a – 1)³(1 + a + a²)/a² + 2/a + 1
Шаг 6. Раскроем и приведём к общему знаменателю a²: = [–2(a – 1)³(1 + a + a²) + 2a + a²]/a²
Шаг 7. После раскрытия скобок (a – 1)³ = a³ – 3a² + 3a – 1 и упрощения числителя получаем: = (a² + 2a + 1)/a² = (a + 1)²/a²
Шаг 8. Так как (a + 1)² ≥ 0 и a² > 0 (при a ≠ 0), то (a + 1)²/a² ≥ 0
Оно равно нулю только при a = –1.