Номер 829 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 829.
Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения
$$\frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} – 2}$$ – $$\frac{\sqrt{6} – 2}{\sqrt{6} + 2}$$?
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи дроби к общему знаменателю (√6 – 2)(√6 + 2). Упрости знаменатель по формуле разности квадратов. Раскрой скобки в числителях и упрости полученное выражение.
Решение по шагам
Решим это выражение пошагово.
Дано: (√6 + 2)/(√6 – 2) – (√6 – 2)/(√6 + 2)
Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: (√6 – 2)(√6 + 2)
Шаг 2. Упростим знаменатель, используя формулу (a – b)(a + b) = a² – b²: (√6 – 2)(√6 + 2) = (√6)² – 2² = 6 – 4 = 2
Шаг 3. Преобразуем первую дробь: (√6 + 2)/(√6 – 2) = (√6 + 2)² / 2
Шаг 4. Преобразуем вторую дробь: (√6 – 2)/(√6 + 2) = (√6 – 2)² / 2
Шаг 5. Раскроем скобки (√6 + 2)²: (√6 + 2)² = (√6)² + 2·√6·2 + 2² = 6 + 4√6 + 4 = 10 + 4√6
Шаг 6. Раскроем скобки (√6 – 2)²: (√6 – 2)² = (√6)² – 2·√6·2 + 2² = 6 – 4√6 + 4 = 10 – 4√6
Шаг 7. Найдём разность: (10 + 4√6)/2 – (10 – 4√6)/2 = (10 + 4√6 – 10 + 4√6)/2 = 8√6/2 = 4√6
Шаг 8. Определим тип числа. 4√6 — это произведение рационального числа 4 и иррационального числа √6. Такое произведение всегда является иррациональным числом.