Номер 827 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 827.
При каких значениях а уравнение x² – ax + 5/x – 1 = 0 имеет единственный корень?
💡 Подсказка (без ответа)
Помни об области допустимых значений: x ≠ 1. После умножения на (x - 1) получишь квадратное уравнение. Единственный корень может быть, если D = 0, либо если один из двух корней квадратного уравнения совпадает с исключённым значением x = 1.
Решение по шагам
Разберём это уравнение пошагово.
Шаг 1: Определим область допустимых значений Знаменатель не может быть равен нулю: x ≠ 1
Шаг 2: Приведём уравнение к стандартному виду Умножим обе части на (x - 1), при x ≠ 1: (x² – ax + 5) = 0
Получаем квадратное уравнение: x² – ax + 5 = 0
Шаг 3: Найдём условия для единственного корня Для единственного корня есть два случая:
Случай 1: Дискриминант равен нулю D = a² – 4·1·5 = 0 a² – 20 = 0 a² = 20 a = ±2√5
Проверим, не совпадает ли этот корень с x = 1: Если x = 1: 1 – a + 5 = 0, то a = 6 При a = ±2√5 ≈ ±4,47, а не 6, значит x = 1 не является корнем. Оба значения подходят.
Случай 2: Дискриминант положительный, но один из двух корней равен 1 (исключается из ОДЗ) Если x = 1 — корень квадратного уравнения: 1 – a + 5 = 0 a = 6
Проверим: x² – 6x + 5 = 0 (x – 1)(x – 5) = 0 Корни: x = 1 (исключён) и x = 5 (единственный допустимый корень)
Итак, a = 6 даёт единственный корень исходного уравнения.
Шаг 4: Итоговый ответ Уравнение имеет единственный корень при: a = 2√5 или a = –2√5 или a = 6