Номер 780 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 780.
При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x2 – 4х + а = 0 равна:
1) 12; 2) 6?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу суммы квадратов: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂. Подставь значения из теоремы Виета и приравняй к нужному числу.
Решение по шагам
Дано уравнение: x² – 4x + a = 0
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂.
По теореме Виета:
- x₁ + x₂ = 4
- x₁ · x₂ = a
Нам нужно найти a, зная, что x₁² + x₂² равно определённому значению.
Сначала выразим сумму квадратов корней через коэффициенты: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂
Подставляем известные значения: x₁² + x₂² = 4² – 2a = 16 – 2a
1) При x₁² + x₂² = 12:
16 – 2a = 12 –2a = 12 – 16 –2a = –4 a = 2
Проверка: уравнение x² – 4x + 2 = 0 имеет дискриминант D = 16 – 8 = 8 > 0 ✓
2) При x₁² + x₂² = 6:
16 – 2a = 6 –2a = 6 – 16 –2a = –10 a = 5
Проверка: уравнение x² – 4x + 5 = 0 имеет дискриминант D = 16 – 20 = –4 < 0
Это означает, что при a = 5 уравнение не имеет действительных корней. Если работаем только с действительными корнями, то этот ответ не подходит.
Если задача допускает комплексные корни, то a = 5 — верный ответ (формула Виета работает и для них).