Номер 781 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 781.
При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x2 + (а – 1)х – 2а = 0 равна 9?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней через a. Затем вспомни формулу x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ и приравняй к 9.
Решение по шагам
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂.
Дано уравнение: x² + (a - 1)x - 2a = 0
Нужно найти a, при котором x₁² + x₂² = 9
Шаг 1. Применим теорему Виета.
По теореме Виета для уравнения x² + (a - 1)x - 2a = 0:
- x₁ + x₂ = -(a - 1) = 1 - a
- x₁ · x₂ = -2a
Шаг 2. Выразим x₁² + x₂² через сумму и произведение корней.
Используем формулу: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
Подставим наши значения: x₁² + x₂² = (1 - a)² - 2·(-2a) x₁² + x₂² = (1 - a)² + 4a
Шаг 3. Раскроем скобки.
(1 - a)² + 4a = 1 - 2a + a² + 4a = a² + 2a + 1
Шаг 4. Приравняем к 9.
a² + 2a + 1 = 9
Заметим, что a² + 2a + 1 = (a + 1)²
(a + 1)² = 9
Шаг 5. Решим уравнение.
Извлечём квадратный корень из обеих частей: a + 1 = 3 или a + 1 = -3
a = 2 или a = -4
Шаг 6. Проверим дискриминант (чтобы корни существовали).
Д = (a - 1)² - 4·1·(-2a) = (a - 1)² + 8a = a² - 2a + 1 + 8a = a² + 6a + 1
При a = 2: Д = 4 + 12 + 1 = 17 > 0 ✓
При a = -4: Д = 16 - 24 + 1 = -7 < 0 ✗ (корней нет)
Поэтому a = -4 не подходит.
Ответ: a = 2