Номер 778 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 778.
Квадрат разности корней уравнения x2 + px + 405 = 0 равен 144. Найдите p.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу для квадрата разности корней: (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂. Затем применй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней через коэффициент p.
Решение по шагам
Обозначим корни уравнения как x₁ и x₂.
По условию задачи: (x₁ - x₂)² = 144
Раскроем скобки: (x₁ - x₂)² = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² = 144
Преобразуем это выражение через сумму и произведение корней: x₁² + x₂² - 2x₁x₂ = 144 (x₁² + 2x₁x₂ + x₂²) - 4x₁x₂ = 144 (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 144
По теореме Виета для уравнения x² + px + 405 = 0:
- x₁ + x₂ = -p
- x₁ · x₂ = 405
Подставляем в наше выражение: (-p)² - 4 · 405 = 144 p² - 1620 = 144 p² = 1764 p = ±42
Проверка:
- Если p = 42, то x² + 42x + 405 = 0. Дискриминант: D = 1764 - 1620 = 144 > 0 ✓
- Если p = -42, то x² - 42x + 405 = 0. Дискриминант: D = 1764 - 1620 = 144 > 0 ✓
Оба значения подходят.
Ответ: p = 42 или p = -42