Номер 776 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 776.
Верно ли утверждение:
1) уравнение 7x2 + 4x – a2 – 1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении а;
2) если уравнение x2 + 6x + a2 + 4 = 0 имеет корни, то независимо от значений а они оба отрицательны?
💡 Подсказка (без ответа)
В первом пункте используй теорему Виета: рассмотри произведение корней и определи его знак. Во втором пункте проверь произведение и сумму корней по теореме Виета — это определит знаки корней.
Решение по шагам
Пункт 1) Уравнение 7x² + 4x – a² – 1 = 0
Уравнение имеет корни разных знаков, если произведение корней отрицательно.
По теореме Виета для уравнения 7x² + 4x – a² – 1 = 0:
Произведение корней = (–a² – 1)/7
Проверим знак этого произведения:
- a² ≥ 0 при любом значении a
- Значит, –a² ≤ 0
- Тогда –a² – 1 ≤ –1 < 0
- Поэтому (–a² – 1)/7 < 0 при любом значении a
Произведение корней всегда отрицательно, значит, корни имеют разные знаки.
Ответ: Утверждение верно.
Пункт 2) Уравнение x² + 6x + a² + 4 = 0
Если уравнение имеет корни, то дискриминант D ≥ 0:
D = 36 – 4(a² + 4) = 36 – 4a² – 16 = 20 – 4a² ≥ 0
Это значит: 4a² ≤ 20, откуда a² ≤ 5, то есть уравнение имеет корни только при |a| ≤ √5
По теореме Виета для уравнения x² + 6x + a² + 4 = 0:
- Сумма корней = –6 < 0
- Произведение корней = a² + 4
Произведение корней: a² + 4 ≥ 4 > 0 при любом значении a
Когда произведение корней положительно и сумма отрицательна, оба корня имеют одинаковый знак — отрицательный.
Ответ: Утверждение верно.