Номер 775 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 775.
Корни x1 и x2 уравнения уравнения x2 – аx + 13 = 0 удовлетворяют условию х₁/х₂ + х₂/х₁ = 5/2. Найдите значение а.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней через параметр a. Затем преобразуй дробное выражение x₁/x₂ + x₂/x₁ к виду (x₁² + x₂²)/(x₁ · x₂) и выразипи x₁² + x₂² через (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂.
Решение по шагам
Дано уравнение x² - ax + 13 = 0 с корнями x₁ и x₂, которые удовлетворяют условию x₁/x₂ + x₂/x₁ = 5/2.
Шаг 1: Используем теорему Виета. Для уравнения x² - ax + 13 = 0:
- x₁ + x₂ = a
- x₁ · x₂ = 13
Шаг 2: Упростим выражение x₁/x₂ + x₂/x₁. Приведём к общему знаменателю: x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²)/(x₁ · x₂)
Шаг 3: Выразим x₁² + x₂² через сумму и произведение корней. Мы знаем, что: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²
Поэтому: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
Шаг 4: Подставляем известные значения. x₁² + x₂² = a² - 2 · 13 = a² - 26
Шаг 5: Подставляем в условие задачи. (a² - 26)/13 = 5/2
Шаг 6: Решаем уравнение. a² - 26 = 13 · 5/2 a² - 26 = 65/2 a² = 26 + 65/2 a² = 52/2 + 65/2 a² = 117/2
Шаг 7: Находим a. a = ±√(117/2) = ±√(117/2) = ±(√234)/2 = ±(3√26)/2
Проверим: √234 = √(9 · 26) = 3√26
Поэтому: a = 3√26/2 или a = -3√26/2
Или в десятичной форме: a ≈ 7,65 или a ≈ -7,65