Номер 774 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 774.
Сумма квадратов корней уравнения 3x2 + ах – 7 = 0 равна 46/9. Найдите значение а.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни теорему Виета: сумма корней равна –a/3, произведение равно –7/3. Затем используй формулу x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂, чтобы связать условие с неизвестным a.
Решение по шагам
Дано уравнение: 3x² + ax – 7 = 0
Нужно найти a, если сумма квадратов корней равна 46/9.
Шаг 1. Обозначим корни уравнения x₁ и x₂.
По теореме Виета для уравнения 3x² + ax – 7 = 0:
- x₁ + x₂ = –a/3
- x₁ · x₂ = –7/3
Шаг 2. Нам нужно найти x₁² + x₂².
Используем формулу: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂
Шаг 3. Подставляем значения из теоремы Виета: x₁² + x₂² = (–a/3)² – 2 · (–7/3) x₁² + x₂² = a²/9 + 14/3
Шаг 4. Приводим к общему знаменателю: x₁² + x₂² = a²/9 + 42/9 = (a² + 42)/9
Шаг 5. По условию это равно 46/9: (a² + 42)/9 = 46/9
Шаг 6. Умножаем обе части на 9: a² + 42 = 46
Шаг 7. Решаем уравнение: a² = 46 – 42 a² = 4 a = ±2
Шаг 8. Проверка:
- Если a = 2: x₁² + x₂² = (4 + 42)/9 = 46/9 ✓
- Если a = –2: x₁² + x₂² = (4 + 42)/9 = 46/9 ✓