Номер 773 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 773.
Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения 2x2 – 15x + 4 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Сначала вспомни теорему Виета: сумма корней равна –b/a, произведение равно c/a. Если новые корни в 2 раза больше старых, то их сумма и произведение тоже изменятся — найди как.
Решение по шагам
- Сначала найдём корни исходного уравнения 2x² – 15x + 4 = 0.
Используем формулу дискриминанта: D = b² – 4ac D = (–15)² – 4 · 2 · 4 = 225 – 32 = 193
Корни: x = (15 ± √193) / 4
Обозначим корни исходного уравнения как x₁ и x₂.
По условию нужно найти уравнение, корни которого в 2 раза больше. То есть новые корни: y₁ = 2x₁ и y₂ = 2x₂.
Используем связь между корнями и коэффициентами (теорема Виета).
Для исходного уравнения 2x² – 15x + 4 = 0:
- сумма корней: x₁ + x₂ = 15/2
- произведение корней: x₁ · x₂ = 4/2 = 2
- Для нового уравнения найдём сумму и произведение новых корней:
- y₁ + y₂ = 2x₁ + 2x₂ = 2(x₁ + x₂) = 2 · 15/2 = 15
- y₁ · y₂ = 2x₁ · 2x₂ = 4x₁x₂ = 4 · 2 = 8
- Составляем уравнение по формуле: y² – (y₁ + y₂)y + y₁y₂ = 0
y² – 15y + 8 = 0
Это и есть искомое квадратное уравнение.
Ответ: y² – 15y + 8 = 0 (или x² – 15x + 8 = 0, если использовать переменную x)