Номер 772 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 772.
Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2x2 – 14x + 9 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь новые корни как y, вырази старые корни через новые (x = 3y), затем подставь в исходное уравнение. Или используй теорему Виета: найди сумму и произведение новых корней через старые.
Решение по шагам
Пусть x₁ и x₂ — корни исходного уравнения 2x² – 14x + 9 = 0.
По условию нам нужны корни, которые в 3 раза меньше, то есть x₁/3 и x₂/3.
Обозначим новые корни как y₁ = x₁/3 и y₂ = x₂/3.
Преобразуем: x₁ = 3y₁ и x₂ = 3y₂.
Подставим в исходное уравнение вместо x значение 3y:
2(3y)² – 14(3y) + 9 = 0
2 · 9y² – 42y + 9 = 0
18y² – 42y + 9 = 0
Подели обе части на 6 (чтобы упростить):
3y² – 7y + 1,5 = 0
Или можно оставить:
18y² – 42y + 9 = 0
Если разделить на 3:
6y² – 14y + 3 = 0
Проверим через теорему Виета для исходного уравнения 2x² – 14x + 9 = 0:
- x₁ + x₂ = 14/2 = 7
- x₁ · x₂ = 9/2
Для нового уравнения:
- y₁ + y₂ = (x₁ + x₂)/3 = 7/3
- y₁ · y₂ = (x₁ · x₂)/9 = (9/2)/9 = 1/2
Уравнение с такими параметрами: y² – (7/3)y + 1/2 = 0
Умножим на 6: 6y² – 14y + 3 = 0