Номер 771 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 771.
Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения x2 – 12x + 4 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Воспользуйся теоремой Виета: найди сумму и произведение корней исходного уравнения, затем выясни, какие будут сумма и произведение у новых корней (каждый увеличен на 3).
Решение по шагам
Обозначим корни исходного уравнения x² – 12x + 4 = 0 как x₁ и x₂.
По теореме Виета для исходного уравнения: • x₁ + x₂ = 12 • x₁ · x₂ = 4
Нужно составить уравнение, корни которого на 3 больше. Обозначим новые корни как y₁ и y₂, где: • y₁ = x₁ + 3 • y₂ = x₂ + 3
Найдём сумму новых корней: y₁ + y₂ = (x₁ + 3) + (x₂ + 3) = x₁ + x₂ + 6 = 12 + 6 = 18
Найдём произведение новых корней: y₁ · y₂ = (x₁ + 3)(x₂ + 3) = x₁x₂ + 3x₁ + 3x₂ + 9 y₁ · y₂ = x₁x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9 = 4 + 3 · 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49
По теореме Виета, если сумма корней равна 18, а произведение равно 49, то уравнение имеет вид: y² – 18y + 49 = 0
Проверка: D = 18² – 4 · 49 = 324 – 196 = 128 > 0 ✓ (два корня, как и требуется)