Номер 770 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 770.
Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения x2 + 8x – 3 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для исходного уравнения, чтобы найти сумму и произведение его корней. Затем выражай сумму и произведение новых корней (которые на 2 меньше) через старые корни и подставь найденные значения.
Решение по шагам
Обозначим корни исходного уравнения x² + 8x – 3 = 0 как x₁ и x₂.
По теореме Виета для уравнения x² + 8x – 3 = 0: • x₁ + x₂ = –8 • x₁ · x₂ = –3
Нам нужно составить уравнение, корни которого на 2 меньше. Обозначим новые корни как y₁ и y₂: • y₁ = x₁ – 2 • y₂ = x₂ – 2
Найдём сумму новых корней: y₁ + y₂ = (x₁ – 2) + (x₂ – 2) = x₁ + x₂ – 4 = –8 – 4 = –12
Найдём произведение новых корней: y₁ · y₂ = (x₁ – 2)(x₂ – 2) = x₁x₂ – 2x₁ – 2x₂ + 4 = x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) + 4 y₁ · y₂ = –3 – 2(–8) + 4 = –3 + 16 + 4 = 17
По теореме Виета, если сумма корней равна –12, а произведение равно 17, то уравнение имеет вид: y² – (сумма)y + (произведение) = 0 y² – (–12)y + 17 = 0
Ответ: y² + 12y + 17 = 0