Номер 769 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 769.
Известно, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + 5x – 16 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) x12 + x22; 2) x₂/x₁ + x₁/x₂; 3) |x12 – x22|.
💡 Подсказка (без ответа)
Примени теорему Виета: сумма корней равна –5, произведение равно –16. Для первого пункта используй формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Для второго пункта приведи дроби к общему знаменателю.
Решение по шагам
Используем теорему Виета. Для уравнения x² + 5x – 16 = 0:
- x₁ + x₂ = –5
- x₁ · x₂ = –16
1) Найти x₁² + x₂²
Используем формулу: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²
Отсюда: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂
Подставляем: x₁² + x₂² = (–5)² – 2·(–16) = 25 + 32 = 57
2) Найти x₂/x₁ + x₁/x₂
Приводим к общему знаменателю: x₂/x₁ + x₁/x₂ = (x₂² + x₁²)/(x₁x₂) = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂)
Подставляем найденные значения: (x₁² + x₂²)/(x₁x₂) = 57/(–16) = –57/16 = –3,5625
3) Найти |x₁² – x₂²|
Используем формулу разности квадратов: x₁² – x₂² = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂)
Нужно найти (x₁ – x₂). Используем: (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ (x₁ – x₂)² = (–5)² – 4·(–16) = 25 + 64 = 89
Поэтому: x₁ – x₂ = ±√89
Тогда: x₁² – x₂² = (±√89)·(–5) = ∓5√89
|x₁² – x₂²| = |∓5√89| = 5√89 ≈ 5·9,43 ≈ 47,17
Точный ответ: 5√89