Номер 768 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 768.
Известно, что x1 и x2 – корни уравнения x2 – 9x + 6 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) 1/x₁ + 1/x₂; 2) x12 + x22; 3) (x1 – x2)2; 4) x13 + x23.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни теорему Виета: если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + bx + c = 0, то сумма корней равна –b, а произведение равно c. Дальше выражай каждый результат через сумму и произведение корней.
Решение по шагам
Используем теорему Виета для уравнения x² – 9x + 6 = 0:
x₁ + x₂ = 9 x₁ · x₂ = 6
- Найдём 1/x₁ + 1/x₂
Приводим к общему знаменателю: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁)/(x₁ · x₂) = (x₁ + x₂)/(x₁ · x₂)
Подставляем значения: = 9/6 = 3/2 = 1,5
- Найдём x₁² + x₂²
Используем формулу: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂
= 9² – 2 · 6 = 81 – 12 = 69
- Найдём (x₁ – x₂)²
Разложим: (x₁ – x₂)² = x₁² – 2x₁x₂ + x₂² = (x₁² + x₂²) – 2x₁x₂
= 69 – 2 · 6 = 69 – 12 = 57
- Найдём x₁³ + x₂³
Используем формулу: x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂)
= 9³ – 3 · 6 · 9 = 729 – 162 = 567