Номер 764 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 764.
Корни x1 и x2 уравнения x2 – 7x + m = 0 удовлетворяют условию 2x1 – 5x2 = 28. Найдите корни уравнения и значение m.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для связи корней и коэффициентов. У тебя есть два условия: сумма корней равна 7 и их разность (с коэффициентами) равна 28. Выражи один корень через другой и подставь.
Решение по шагам
По теореме Виета для уравнения x² – 7x + m = 0:
x₁ + x₂ = 7 x₁ · x₂ = m
По условию задачи: 2x₁ – 5x₂ = 28
Решаем систему двух уравнений: x₁ + x₂ = 7 2x₁ – 5x₂ = 28
Из первого уравнения выражаем x₁: x₁ = 7 – x₂
Подставляем во второе уравнение: 2(7 – x₂) – 5x₂ = 28 14 – 2x₂ – 5x₂ = 28 14 – 7x₂ = 28 –7x₂ = 14 x₂ = –2
Находим x₁: x₁ = 7 – (–2) = 7 + 2 = 9
Проверим условие: 2 · 9 – 5 · (–2) = 18 + 10 = 28 ✓
Находим m по теореме Виета: m = x₁ · x₂ = 9 · (–2) = –18
Проверим, подставив корни в исходное уравнение x² – 7x – 18 = 0: Для x = 9: 9² – 7 · 9 – 18 = 81 – 63 – 18 = 0 ✓ Для x = –2: (–2)² – 7 · (–2) – 18 = 4 + 14 – 18 = 0 ✓