Номер 751 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 751.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) – 7 и – 8; 2) 5 и – 0,4; 3) 1/2 и 2/3; 4) 5 – $$\sqrt{10}$$ и 5 + $$\sqrt{10}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета: если x₁ и x₂ — корни, то уравнение записывается как x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Сначала найди сумму и произведение корней, затем приведи коэффициенты к целым числам, если нужно.
Решение по шагам
Используем формулу: если корни уравнения x₁ и x₂, то квадратное уравнение имеет вид (x − x₁)(x − x₂) = 0, или x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
1) Корни: –7 и –8
Сумма корней: –7 + (–8) = –15 Произведение корней: (–7) · (–8) = 56
Уравнение: x² − (−15)x + 56 = 0 Ответ: x² + 15x + 56 = 0
2) Корни: 5 и –0,4
Сумма корней: 5 + (–0,4) = 4,6 Произведение корней: 5 · (–0,4) = –2
Уравнение: x² − 4,6x − 2 = 0
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим всё на 10: Ответ: 10x² − 46x − 20 = 0, или 5x² − 23x − 10 = 0
3) Корни: 1/2 и 2/3
Сумма корней: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 Произведение корней: (1/2) · (2/3) = 2/6 = 1/3
Уравнение: x² − (7/6)x + 1/3 = 0
Умножим всё на 6 (общий знаменатель): Ответ: 6x² − 7x + 2 = 0
4) Корни: 5 − √10 и 5 + √10
Сумма корней: (5 − √10) + (5 + √10) = 10 Произведение корней: (5 − √10)(5 + √10) = 5² − (√10)² = 25 − 10 = 15
Уравнение: x² − 10x + 15 = 0 Ответ: x² − 10x + 15 = 0