Номер 750 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 750.
Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) 2 и 5; 3) – 0,2 и – 10; 5) 0 и 6;
2) – 1/3 и 2; 4) 2 – $$\sqrt{3}$$ и 2 + $$\sqrt{3}$$; 6) – $$\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{7}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу для составления уравнения по корням: если известны корни x₁ и x₂, то уравнение x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Найди сумму и произведение корней, а затем при необходимости умножь уравнение на число, чтобы получить целые коэффициенты.
Решение по шагам
Используем формулу: если корни уравнения x₁ и x₂, то уравнение имеет вид (x - x₁)(x - x₂) = 0, или после раскрытия скобок: x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Корни: 2 и 5 Сумма корней: 2 + 5 = 7 Произведение корней: 2 · 5 = 10 Уравнение: x² - 7x + 10 = 0
Корни: -1/3 и 2 Сумма корней: -1/3 + 2 = -1/3 + 6/3 = 5/3 Произведение корней: -1/3 · 2 = -2/3 Уравнение: x² - (5/3)x - 2/3 = 0 Умножаем на 3: 3x² - 5x - 2 = 0 (целые коэффициенты)
Корни: -0,2 и -10 Преобразуем: -0,2 = -1/5 Сумма корней: -1/5 - 10 = -1/5 - 50/5 = -51/5 Произведение корней: (-1/5) · (-10) = 10/5 = 2 Уравнение: x² - (-51/5)x + 2 = 0, или x² + (51/5)x + 2 = 0 Умножаем на 5: 5x² + 51x + 10 = 0 (целые коэффициенты)
Корни: 2 - √3 и 2 + √3 Сумма корней: (2 - √3) + (2 + √3) = 4 Произведение корней: (2 - √3)(2 + √3) = 4 - 3 = 1 Уравнение: x² - 4x + 1 = 0 (целые коэффициенты)
Корни: 0 и 6 Сумма корней: 0 + 6 = 6 Произведение корней: 0 · 6 = 0 Уравнение: x² - 6x + 0 = 0, или x² - 6x = 0
Корни: -√7 и √7 Сумма корней: -√7 + √7 = 0 Произведение корней: (-√7) · √7 = -7 Уравнение: x² - 0·x - 7 = 0, или x² - 7 = 0 (целые коэффициенты)