Номер 728 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 728.
Докажите, что при любом значении m не имеет корней уравнение:
1) х² + mx + m² + 1 = 0; 2) x² – 2mx + 2m² + 9 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Найди дискриминант каждого уравнения (подставь коэффициенты a, b, c в формулу D = b² - 4ac). Упрости выражение для D и покажи, что оно всегда отрицательное, независимо от значения m.
Решение по шагам
Чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, нужно показать, что его дискриминант отрицательный (D < 0). Если D < 0, то действительных корней нет при любом значении параметра.
Пункт 1) x² + mx + m² + 1 = 0
Это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где:
- a = 1
- b = m
- c = m² + 1
Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = m² - 4·1·(m² + 1) = m² - 4m² - 4 = -3m² - 4
Анализируем полученное выражение:
- m² ≥ 0 при любом значении m
- 3m² ≥ 0 при любом значении m
- -3m² ≤ 0 при любом значении m
- -3m² - 4 < 0 при любом значении m (так как даже если 3m² = 0, получаем -4 < 0)
Так как D < 0 при всех значениях m, уравнение не имеет корней. Что и требовалось доказать.
Пункт 2) x² - 2mx + 2m² + 9 = 0
Это квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где:
- a = 1
- b = -2m
- c = 2m² + 9
Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-2m)² - 4·1·(2m² + 9) = 4m² - 8m² - 36 = -4m² - 36
Анализируем полученное выражение:
- m² ≥ 0 при любом значении m
- 4m² ≥ 0 при любом значении m
- -4m² ≤ 0 при любом значении m
- -4m² - 36 < 0 при любом значении m (так как даже если 4m² = 0, получаем -36 < 0)
Так как D < 0 при всех значениях m, уравнение не имеет корней. Что и требовалось доказать.