Номер 727 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 727.
Докажите, что при любом значении р имеет два корня уравнение:
1) 4х² – рх – 3 = 0; 2) х² + рх + р – 2 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Чтобы доказать, что уравнение имеет два корня, нужно показать, что дискриминант D > 0 при любом значении параметра р. Вычисли дискриминант через параметр и проанализируй полученное выражение.
Решение по шагам
Уравнение имеет два корня, когда дискриминант D > 0. Проверим оба случая.
1) 4х² – рх – 3 = 0
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
- a = 4, b = –р, c = –3
- D = b² – 4ac
- D = (–р)² – 4 · 4 · (–3)
- D = р² + 48
Проанализируем: р² ≥ 0 при любом р, значит р² + 48 ≥ 48 > 0
Так как D > 0 при любом значении р, уравнение всегда имеет два различных корня. ✓
2) х² + рх + р – 2 = 0
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
- a = 1, b = р, c = р – 2
- D = b² – 4ac
- D = р² – 4 · 1 · (р – 2)
- D = р² – 4р + 8
Проанализируем выражение р² – 4р + 8. Дополним до полного квадрата:
- D = р² – 4р + 4 + 4
- D = (р – 2)² + 4
Проанализируем: (р – 2)² ≥ 0 при любом р, значит (р – 2)² + 4 ≥ 4 > 0
Так как D > 0 при любом значении р, уравнение всегда имеет два различных корня. ✓