Номер 721 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 721.
В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь количество команд буквой n. Вспомни, что каждый матч — это встреча двух команд. Составь уравнение, используя формулу количества сочетаний из n по 2: n(n-1)/2. Это будет равно 36 матчам.
Решение по шагам
Обозначим количество команд буквой n.
Когда каждая команда играет с каждой ровно один раз, это круговой турнир. Нужно найти количество пар команд.
Каждая из n команд играет с (n - 1) другими командами. Если просто перемножить n · (n - 1), получим удвоенное количество матчей (потому что каждый матч мы считаем дважды: один раз для первой команды, один раз для второй).
Поэтому общее количество матчей равно: n(n - 1)/2 = 36
Умножим обе части на 2: n(n - 1) = 72
Раскроем скобки: n² - n = 72
Перенесём всё в левую часть: n² - n - 72 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = b² - 4ac = (-1)² - 4 · 1 · (-72) = 1 + 288 = 289 = 17²
Найдём корни: n₁ = (-b + √D)/(2a) = (1 + 17)/2 = 18/2 = 9
n₂ = (-b - √D)/(2a) = (1 - 17)/2 = -16/2 = -8
Отрицательное значение не подходит (количество команд не может быть отрицательным).
Проверка: если n = 9, то количество матчей = 9 · 8 / 2 = 72 / 2 = 36 ✓