Номер 717 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 717.
Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что означает «разные знаки» для произведения ac. Затем посмотри на дискриминант D = b² - 4ac и докажи, что он положителен.
Решение по шагам
Докажем это через дискриминант.
Дано квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
Условие: старший коэффициент a и свободный член c имеют разные знаки.
Шаг 1: Понимаем, что разные знаки означают: • либо a > 0 и c < 0, • либо a < 0 и c > 0.
В любом случае: a · c < 0 (произведение отрицательно)
Шаг 2: Напомним формулу дискриминанта: D = b² - 4ac
Шаг 3: Анализируем дискриминант. Поскольку a · c < 0, то число (-4ac) > 0 (минус на отрицательное число дает положительное).
Шаг 4: Оцениваем D: D = b² - 4ac
b² ≥ 0 (квадрат любого числа неотрицателен) -4ac > 0 (из шага 3)
Поэтому: D = b² - 4ac = b² + (положительное число)
Шаг 5: Вывод: D > 0 всегда (даже если b = 0, то D = 0 - 4ac > 0)
Шаг 6: По теореме о количестве корней: Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Что и требовалось доказать. ✓