Номер 716 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 716.
Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь стороны как a и b. Составь два уравнения: одно из условия про разность (a - b = 31), второе из теоремы Пифагора для диагонали (a² + b² = 41²). Выражай одну сторону через другую и подставляй в уравнение Пифагора.
Решение по шагам
Обозначим стороны прямоугольника как a и b, где a > b.
По условию задачи:
- Разность сторон: a - b = 31
- Диагональ прямоугольника: 41 см
Используем теорему Пифагора для прямоугольника. Диагональ, две стороны и угол между ними образуют прямоугольный треугольник: a² + b² = 41² = 1681
Из первого условия выражаем a через b: a = b + 31
Подставляем в уравнение Пифагора: (b + 31)² + b² = 1681
Раскрываем скобки: b² + 62b + 961 + b² = 1681
Приводим подобные: 2b² + 62b + 961 = 1681
Переносим 1681 в левую часть: 2b² + 62b + 961 - 1681 = 0 2b² + 62b - 720 = 0
Делим всё уравнение на 2: b² + 31b - 360 = 0
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: D = 31² - 4 · 1 · (-360) = 961 + 1440 = 2401 = 49²
b = (-31 + 49) / 2 = 18 / 2 = 9 см или b = (-31 - 49) / 2 = -80 / 2 = -40 см (отрицательное значение не подходит)
Тогда: a = b + 31 = 9 + 31 = 40 см
Проверка: 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681 = 41² ✓ 40 - 9 = 31 ✓