Номер 666 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 666.
Докажите, что числа 2 – $$\sqrt{3}$$ и 2 + $$\sqrt{3}$$ являются корнями уравнения х² – 4х + 1 = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Подставь каждое число в уравнение вместо х. Раскрой скобки, используя формулу (a ± b)² = a² ± 2ab + b², упрости выражение. Если получится 0, значит число — корень уравнения.
Решение по шагам
Нужно показать, что каждое из чисел 2 – √3 и 2 + √3 обращает уравнение х² – 4х + 1 = 0 в верное равенство. Проверим подстановкой.
Проверка для х = 2 – √3:
Найдём х²: (2 – √3)² = 4 – 4√3 + 3 = 7 – 4√3
Подставим в левую часть уравнения: х² – 4х + 1 = (7 – 4√3) – 4(2 – √3) + 1 = 7 – 4√3 – 8 + 4√3 + 1 = (7 – 8 + 1) + (–4√3 + 4√3) = 0 ✓
Проверка для х = 2 + √3:
Найдём х²: (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3
Подставим в левую часть уравнения: х² – 4х + 1 = (7 + 4√3) – 4(2 + √3) + 1 = 7 + 4√3 – 8 – 4√3 + 1 = (7 – 8 + 1) + (4√3 – 4√3) = 0 ✓
Оба числа обращают уравнение в верное равенство, поэтому они являются корнями уравнения х² – 4х + 1 = 0.