Номер 62 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 62.
Какое наименьшее значение и при каких значениях a и b принимает выражение (а – 2)(а + 2) + 4b(b – а)?
💡 Подсказка (без ответа)
Раскрой скобки в обеих частях выражения, потом приведи подобные члены. Попытайся выделить полный квадрат из полученного многочлена. Вспомни, что квадрат любого выражения не может быть отрицательным.
Решение по шагам
Раскроем скобки и упростим выражение.
Раскроем первую часть (а – 2)(а + 2): (а – 2)(а + 2) = а² – 4
Раскроем вторую часть 4b(b – а): 4b(b – а) = 4b² – 4ab
Сложим обе части: (а – 2)(а + 2) + 4b(b – а) = а² – 4 + 4b² – 4ab
Переставим члены в удобном порядке: а² – 4ab + 4b² – 4
Заметим, что первые три члена — это полный квадрат: а² – 4ab + 4b² = (а – 2b)²
Получаем: (а – 2b)² – 4
Анализируем выражение (а – 2b)² – 4: — Квадрат (а – 2b)² всегда больше или равен нулю — Минимальное значение (а – 2b)² = 0, когда а – 2b = 0 — Поэтому минимальное значение всего выражения = 0 – 4 = –4
Это минимум достигается при а – 2b = 0, то есть при а = 2b (при любых значениях, где а = 2b)
Ответ: наименьшее значение равно –4, достигается при а = 2b (например, а = 2, b = 1 или а = 4, b = 2 и т.д.)