Номер 600 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 600.
Докажите, что:
$$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{7}+ \sqrt{5}}$$ + ... + $$\frac{1}{\sqrt{91}+ \sqrt{89}}$$ = $$\frac{\sqrt{91} – 1}{2}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Рационализируй знаменатель каждой дроби, умножив на сопряжённое выражение. Увидишь, что при сложении получится телескопическая сумма — большинство членов взаимно уничтожатся.
Решение по шагам
Нужно доказать, что сумма этих дробей равна (√91 – 1)/2.
Шаг 1: Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для дроби 1/(√a + √b) умножим числитель и знаменатель на (√a – √b):
1/(√a + √b) = (√a – √b)/((√a + √b)(√a – √b)) = (√a – √b)/(a – b)
Шаг 2: Применим эту формулу к каждому слагаемому.
1/(√3 + 1) = (√3 – 1)/((√3 + 1)(√3 – 1)) = (√3 – 1)/(3 – 1) = (√3 – 1)/2
1/(√5 + √3) = (√5 – √3)/(5 – 3) = (√5 – √3)/2
1/(√7 + √5) = (√7 – √5)/(7 – 5) = (√7 – √5)/2
...
1/(√91 + √89) = (√91 – √89)/(91 – 89) = (√91 – √89)/2
Шаг 3: Запишем всю сумму после преобразований.
Сумма = (√3 – 1)/2 + (√5 – √3)/2 + (√7 – √5)/2 + ... + (√91 – √89)/2
Шаг 4: Вынесем 1/2 за скобку.
Сумма = (1/2) · ((√3 – 1) + (√5 – √3) + (√7 – √5) + ... + (√91 – √89))
Шаг 5: Раскроем скобки и видим телескопическую сумму (члены сокращаются).
= (1/2) · (–1 + √3 – √3 + √5 – √5 + √7 – √7 + ... – √89 + √91)
Все промежуточные члены (√3, √5, √7, ..., √89) сокращаются!
Шаг 6: Остаются только первый и последний члены.
= (1/2) · (√91 – 1)
= (√91 – 1)/2
Что и требовалось доказать!