Номер 599 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 599.
Упростите выражение:
$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{4}+ \sqrt{3}}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{5}+ \sqrt{4}}$$ + ... + $$\frac{1}{\sqrt{100}+ \sqrt{99}}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Используйте приём умножения на сопряжённое выражение (на √a - √(a-1)). Это превратит сложную дробь в разность, а вся сумма станет телескопической — соседние члены будут сокращаться.
Решение по шагам
Это задание на упрощение суммы дробей со степенями. Заметим, что каждую дробь можно упростить, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.
Шаг 1. Упрощаем одну дробь
Возьмём дробь 1/(√a + √b). Умножим на (√a - √b)/(√a - √b):
1/(√a + √b) = (√a - √b)/((√a + √b)(√a - √b)) = (√a - √b)/(a - b)
Когда b = a - 1, получаем:
1/(√a + √(a-1)) = (√a - √(a-1))/((a) - (a-1)) = √a - √(a-1)
Шаг 2. Применяем формулу к каждому слагаемому
1/(√2 + 1) = 1/(√2 + √1) = √2 - √1 = √2 - 1
1/(√3 + √2) = √3 - √2
1/(√4 + √3) = √4 - √3 = 2 - √3
1/(√5 + √4) = √5 - √4 = √5 - 2
...
1/(√100 + √99) = √100 - √99 = 10 - √99
Шаг 3. Складываем все слагаемые (телескопическая сумма)
(√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + (√5 - √4) + ... + (√100 - √99)
Заметим, что это телескопическая сумма: почти все члены взаимно уничтожаются.
= -1 + √2 - √2 + √3 - √3 + √4 - √4 + √5 - ... - √99 + √100
= -1 + √100
= -1 + 10
= 9