Номер 601 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 601.
Докажите, что:
$$\sqrt{2}$$ · $$\sqrt{2+\sqrt{2}}$$ · $$\sqrt{2+\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$$ · $$\sqrt{2–\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$$ = 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Сгруппируй множители по парам: сначала найди произведение третьего и четвёртого корней (там получится разность квадратов), затем перемножь со своим результатом первые два корня. В итоге раскроение скобок должно дать число 4 под корнем.
Решение по шагам
Обозначим для удобства:
- a = √2
- b = √(2 + √2)
- c = √(2 + √(2 + √2))
- d = √(2 - √(2 + √2))
Нужно доказать: a · b · c · d = 2
Шаг 1. Найдём произведение c · d.
c · d = √(2 + √(2 + √2)) · √(2 - √(2 + √2))
По формуле √x · √y = √(xy):
c · d = √[(2 + √(2 + √2)) · (2 - √(2 + √2))]
Шаг 2. Применим формулу разности квадратов (x + y)(x - y) = x² - y²:
c · d = √[2² - (√(2 + √2))²] c · d = √[4 - (2 + √2)] c · d = √[4 - 2 - √2] c · d = √[2 - √2]
Шаг 3. Найдём произведение a · b.
a · b = √2 · √(2 + √2) a · b = √[2 · (2 + √2)] a · b = √[4 + 2√2]
Шаг 4. Найдём произведение (a · b) · (c · d).
(a · b) · (c · d) = √[4 + 2√2] · √[2 - √2]
По формуле произведения корней:
(a · b) · (c · d) = √[(4 + 2√2)(2 - √2)]
Шаг 5. Раскроем скобки:
(4 + 2√2)(2 - √2) = 4 · 2 - 4√2 + 2√2 · 2 - 2√2 · √2 = 8 - 4√2 + 4√2 - 2 · 2 = 8 - 4 = 4
Шаг 6. Получаем:
(a · b) · (c · d) = √4 = 2
Что и требовалось доказать: √2 · √(2 + √2) · √(2 + √(2 + √2)) · √(2 - √(2 + √2)) = 2