Номер 549 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 549.
На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)?
💡 Подсказка (без ответа)
Найди сумму всех 102 чисел и определи, чётная она или нечётная. Подумай, как это влияет на чётность сумм в двух группах.
Решение по шагам
Обозначим 102 последовательных натуральных числа как n, n+1, n+2, ..., n+101.
Шаг 1. Найдём сумму всех этих чисел. Сумма = n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+101) = 102n + (0+1+2+...+101) Сумма = 102n + (101·102)/2 = 102n + 5151 = 102n + 5151
Шаг 2. Проанализируем чётность суммы. 102n + 5151 = 102n + 5151
102n — всегда чётное число (так как 102 чётное) 5151 — нечётное число
Поэтому сумма всех 102 чисел = чётное + нечётное = нечётное число.
Шаг 3. Предположим, что мы разбили числа на две группы с суммами S₁ и S₂. Тогда S₁ + S₂ = нечётное число (сумма всех чисел)
Шаг 4. Если S₁ + S₂ нечётно, то одно из этих слагаемых чётное, а другое нечётное. (чётное + нечётное = нечётное)
Шаг 5. Единственное чётное простое число — это 2. Но сумма не менее двух натуральных чисел (даже минимальных: 1 и 2) равна минимум 3. Поэтому получить сумму, равную 2, невозможно.
Получается, что одна группа будет иметь чётную сумму, которая не может быть простым числом (так как она ≥ 3 и чётная).