Номер 449 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 449.
Найдите все трёхзначные натуральные числа n такие, что сумма цифр числа n в 11 раз меньше самого числа n.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь трёхзначное число как 100a + 10b + c, запиши условие n = 11 · (a + b + c) и упрости уравнение. Найди, какие значения цифр a, b, c удовлетворяют условиям.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим трёхзначное число n как abc, где a, b, c — его цифры. Тогда:
Число можно записать так: n = 100a + 10b + c, где a ≠ 0 (так как число трёхзначное), a, b, c — цифры от 0 до 9.
Сумма цифр: S = a + b + c
По условию задачи сумма цифр в 11 раз меньше числа, то есть: n = 11 · S
Подставляем: 100a + 10b + c = 11(a + b + c)
Раскрываем скобки: 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c
Переносим все в левую часть: 100a + 10b + c - 11a - 11b - 11c = 0 89a - b - 10c = 0
Выражаем b: b = 89a - 10c
Так как b — цифра, то 0 ≤ b ≤ 9, поэтому: 0 ≤ 89a - 10c ≤ 9
Так как a ≥ 1 (трёхзначное число):
- При a = 1: b = 89 - 10c, нужно чтобы 0 ≤ 89 - 10c ≤ 9 Это даёт: 80 ≤ 10c ≤ 89, то есть 8 ≤ c ≤ 8,9, значит c = 8 Тогда b = 89 - 80 = 9 Число: n = 198
Проверим: S = 1 + 9 + 8 = 18, и 198 ÷ 18 = 11 ✓
При a = 2: b = 178 - 10c, это не может быть цифрой (слишком большое)
При a ≥ 2 коэффициент 89a становится слишком большим, чтобы b остался цифрой.