Номер 437 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 437.
При каких значениях а уравнение ($$\sqrt{х – 1}$$)(х – а) = 0 имеет только один корень?
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Не забудь про область определения квадратного корня — там должно быть x ≥ 1. Подумай, какие значения a делают второе решение «неправильным» для этой области.
Решение по шагам
Разберёмся, когда это уравнение имеет ровно один корень.
Уравнение произведения двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю: sqrt(x - 1) = 0 или x - a = 0
Из первого множителя: sqrt(x - 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1 Это всегда решение (при любом значении a).
Из второго множителя: x - a = 0 x = a Это решение есть при любом a.
Важное условие: под корнем должно быть неотрицательное число! Поэтому x ≥ 1 (область определения). Значит, x = a — это решение только если a ≥ 1.
Теперь найдём, когда корней ровно один:
- Корень x = 1 есть всегда (он входит в область определения)
- Корень x = a есть только если a ≥ 1
Для одного корня нужно, чтобы корни совпадали или чтобы второй корень не входил в область определения.
Случай 1: корни совпадают 1 = a a = 1 Проверка: уравнение становится sqrt(x - 1) · (x - 1) = 0, корень только x = 1. ✓
Случай 2: второй корень не входит в область определения a < 1 Тогда x = a не является решением (так как нарушает x ≥ 1). Остаётся только x = 1. ✓
Вывод: уравнение имеет только один корень при a < 1 или a = 1, то есть при a ≤ 1.