Номер 249 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 249.
Докажите, что (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с определения отрицательной степени: x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Затем возведите дробь a/b в степень n и упростите полученное выражение, применяя правило деления дроби на дробь.
Решение по шагам
Докажем, что (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
Шаг 1: Вспомним определение отрицательной степени. Для любого числа x ≠ 0 и натурального числа n: x⁻ⁿ = 1/xⁿ
Шаг 2: Применим это определение к (a/b)⁻ⁿ. (a/b)⁻ⁿ = 1/(a/b)ⁿ
Шаг 3: Упростим дробь в знаменателе. Чтобы найти (a/b)ⁿ, возведём числитель и знаменатель в степень n: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Шаг 4: Подставим в формулу из шага 2. (a/b)⁻ⁿ = 1/(aⁿ/bⁿ)
Шаг 5: Разделим 1 на дробь aⁿ/bⁿ (деление на дробь = умножение на обратную). 1/(aⁿ/bⁿ) = 1 · bⁿ/aⁿ = bⁿ/aⁿ
Шаг 6: Запишем результат как степень. bⁿ/aⁿ = (b/a)ⁿ
Шаг 7: Вывод. (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ — доказано!