Номер 229 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 229.
Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 – кубом натурального числа7
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь искомое число как n. Из условий составь два уравнения: n · 2 = a² и n · 3 = b³. Выяви, какой вид должно иметь число n, разложив его на простые множители. Проверь, существуют ли такие натуральные a и b.
Решение по шагам
Обозначим искомое натуральное число как n.
По условию задачи:
- n · 2 = a² (квадрат натурального числа a)
- n · 3 = b³ (куб натурального числа b)
Из первого условия: n · 2 = a² Это значит, что a² чётное, поэтому a чётное. Пусть a = 2k, тогда: n · 2 = (2k)² = 4k² n = 2k²
Из второго условия: n · 3 = b³ Подставим n = 2k²: 2k² · 3 = b³ 6k² = b³
Теперь нужно найти такое k, чтобы 6k² был кубом натурального числа.
Представим k в виде произведения простых множителей и проанализируем степени:
- Число 6 = 2¹ · 3¹
- k² содержит чётные степени всех простых множителей
Для того чтобы 6k² = 2¹ · 3¹ · k² был кубом, все простые множители должны входить в степенях, кратных 3.
Пусть k = 2² · 3² · m³ = 4 · 9 · m³ = 36m³
Тогда: 6k² = 6 · (36m³)² = 6 · 1296m⁶ = 7776m⁶ = (12m²)³
Это действительно куб! Проверим при m = 1:
- k = 36
- n = 2k² = 2 · 36² = 2 · 1296 = 2592
Проверка:
- n · 2 = 2592 · 2 = 5184 = 72² ✓
- n · 3 = 2592 · 3 = 7776 = 12³ ✓
Ответ: Да, такие числа существуют. Наименьшее из них — n = 2592.