Номер 223 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 223.
Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение:
1) (a – 5)² – 2(a – 5) + 1;
2) (a – b)(a – b – 8) + 16.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях нужно заметить, что выражение имеет форму квадратного трёхчлена. Сделайте замену переменной (обозначьте часть выражения буквой) и приведите к формуле квадрата разности, которая всегда неотрицательна.
Решение по шагам
Решение:
1) (a – 5)² – 2(a – 5) + 1
Посмотрим на это выражение и заметим, что оно похоже на формулу квадрата разности.
Обозначим (a – 5) = t, тогда получим: t² – 2t + 1
Это формула квадрата разности: t² – 2t + 1 = (t – 1)²
Подставим обратно t = (a – 5): (a – 5 – 1)² = (a – 6)²
Поскольку любое число, возведённое в квадрат, даёт неотрицательный результат: (a – 6)² ≥ 0 при любом значении a.
Что и требовалось доказать.
2) (a – b)(a – b – 8) + 16
Обозначим (a – b) = m, тогда получим: m(m – 8) + 16
Раскроем скобки: m² – 8m + 16
Это формула квадрата разности: m² – 8m + 16 = (m – 4)²
Подставим обратно m = (a – b): (a – b – 4)²
Поскольку любое число, возведённое в квадрат, даёт неотрицательный результат: (a – b – 4)² ≥ 0 при любых значениях a и b.
Что и требовалось доказать.