Номер 193 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 193.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 3ⁿ ⁺ ² – 2ⁿ ⁺ ² + 3ⁿ – 2ⁿ делится нацело на 10.
💡 Подсказка (без ответа)
Преобразуй степени: запиши 3ⁿ⁺² = 9 · 3ⁿ и 2ⁿ⁺² = 4 · 2ⁿ. Затем сгруппируй члены с одинаковыми основаниями и вынеси общие множители. Попробуй получить в выражении множитель 10 или 5.
Решение по шагам
Нужно доказать, что выражение 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ делится на 10 при любом натуральном n.
Шаг 1. Преобразуем выражение, вынеся общие множители.
3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ
Запишем степени по-другому:
- 3ⁿ⁺² = 3² · 3ⁿ = 9 · 3ⁿ
- 2ⁿ⁺² = 2² · 2ⁿ = 4 · 2ⁿ
Шаг 2. Подставим и сгруппируем.
9 · 3ⁿ - 4 · 2ⁿ + 3ⁿ - 2ⁿ
Сгруппируем члены с 3ⁿ и с 2ⁿ:
(9 · 3ⁿ + 3ⁿ) - (4 · 2ⁿ + 2ⁿ)
Шаг 3. Вынесем общие множители из скобок.
3ⁿ(9 + 1) - 2ⁿ(4 + 1)
= 3ⁿ · 10 - 2ⁿ · 5
Шаг 4. Вынесем число 5.
= 10 · 3ⁿ - 5 · 2ⁿ
= 5(2 · 3ⁿ - 2ⁿ)
Шаг 5. Проверим, что выражение в скобках чётное.
2 · 3ⁿ - 2ⁿ
Число 2 · 3ⁿ всегда чётное (потому что умножаем на 2). Число 2ⁿ всегда чётное при n ≥ 1. Разность двух чётных чисел — чётное число.
Значит: 2 · 3ⁿ - 2ⁿ = 2k, где k — некоторое целое число.
Шаг 6. Подставим обратно.
5(2 · 3ⁿ - 2ⁿ) = 5 · 2k = 10k
Мы получили произведение 10k, которое делится на 10 нацело.
Вывод: при любом натуральном n исходное выражение делится на 10.