Номер 135 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 135.
Верно ли утверждение, что при любом натуральном n значение выражения (5n + 7)² – (n – 1)² делится нацело на 48?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов: a² – b² = (a + b)(a – b). Раскрой скобки в произведении (5n + 7 + n – 1)(5n + 7 – n + 1), упрости и вынеси общий множитель. Помни, что среди двух последовательных чисел одно всегда чётное.
Решение по шагам
Давайте проверим, делится ли выражение (5n + 7)² – (n – 1)² на 48 при любом натуральном n.
Шаг 1: Используем формулу разности квадратов a² – b² = (a + b)(a – b).
Здесь a = (5n + 7), b = (n – 1).
Шаг 2: Найдём сумму: (5n + 7) + (n – 1) = 5n + 7 + n – 1 = 6n + 6 = 6(n + 1)
Шаг 3: Найдём разность: (5n + 7) – (n – 1) = 5n + 7 – n + 1 = 4n + 8 = 4(n + 2)
Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов: (5n + 7)² – (n – 1)² = 6(n + 1) · 4(n + 2) = 24(n + 1)(n + 2)
Шаг 5: Упростим произведение (n + 1)(n + 2).
Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них всегда чётное, поэтому (n + 1)(n + 2) всегда делится на 2.
Шаг 6: Значит: 24(n + 1)(n + 2) = 24 · 2 · k = 48k,
где k = (n + 1)(n + 2) / 2 — целое число.
Шаг 7: Вывод: выражение (5n + 7)² – (n – 1)² всегда делится нацело на 48.
Ответ: ДА, утверждение верно.