Номер 130 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 130.
Докажите, что если
a – c/b + c + b – a/a + c + c – b/a + b = 1, то a + b/b + c + b + c/a + c + a + c/a + b = 4.
💡 Подсказка (без ответа)
Преобразуй каждую дробь из первого выражения, выделив целую часть (вычти и прибавь нужное число в числителе). Посмотри, на какую сумму это похоже.
Решение по шагам
Обозначим первое выражение для удобства. Дано:
(a - c)/(b + c) + (b - a)/(a + c) + (c - b)/(a + b) = 1
Шаг 1. Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть.
Первая дробь: (a - c)/(b + c) = (a + b - b - c)/(b + c) = (a + b)/(b + c) - (b + c)/(b + c) = (a + b)/(b + c) - 1
Вторая дробь: (b - a)/(a + c) = (b + c - c - a)/(a + c) = (b + c)/(a + c) - (a + c)/(a + c) = (b + c)/(a + c) - 1
Третья дробь: (c - b)/(a + b) = (c + a - a - b)/(a + b) = (a + c)/(a + b) - (a + b)/(a + b) = (a + c)/(a + b) - 1
Шаг 2. Подставим в исходное выражение:
[(a + b)/(b + c) - 1] + [(b + c)/(a + c) - 1] + [(a + c)/(a + b) - 1] = 1
Шаг 3. Упростим:
(a + b)/(b + c) + (b + c)/(a + c) + (a + c)/(a + b) - 3 = 1
Шаг 4. Переносим -3:
(a + b)/(b + c) + (b + c)/(a + c) + (a + c)/(a + b) = 4
Это и есть то, что нужно было доказать!
Второе выражение в задании: (a + b)/(b + c) + (b + c)/(a + c) + (a + c)/(a + b) = 4