Номер 129 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 129.
Упростите выражение:
3/1 – a² + 3/1 + a² + 6/1 + a⁴ + 12/1 + a⁸ + 24/1 + a¹⁶ = 48/1 – a³².
💡 Подсказка (без ответа)
Складывайте дроби попарно, начиная с первых двух. Используйте формулу (1 - x)(1 + x) = 1 - x². Заметьте, что каждый шаг удваивает числитель и увеличивает показатель степени в знаменателе в два раза.
Решение по шагам
Обозначим искомое выражение как S:
S = 3/(1 - a²) + 3/(1 + a²) + 6/(1 + a⁴) + 12/(1 + a⁸) + 24/(1 + a¹⁶)
Шаг 1. Сложим первые два слагаемых: 3/(1 - a²) + 3/(1 + a²) = 3(1 + a²) + 3(1 - a²) / [(1 - a²)(1 + a²)] = 3(1 + a² + 1 - a²) / (1 - a⁴) = 3 · 2 / (1 - a⁴) = 6/(1 - a⁴)
Шаг 2. Теперь добавим третье слагаемое: 6/(1 - a⁴) + 6/(1 + a⁴) = 6(1 + a⁴) + 6(1 - a⁴) / [(1 - a⁴)(1 + a⁴)] = 6(1 + a⁴ + 1 - a⁴) / (1 - a⁸) = 6 · 2 / (1 - a⁸) = 12/(1 - a⁸)
Шаг 3. Добавим четвёртое слагаемое: 12/(1 - a⁸) + 12/(1 + a⁸) = 12(1 + a⁸) + 12(1 - a⁸) / [(1 - a⁸)(1 + a⁸)] = 12 · 2 / (1 - a¹⁶) = 24/(1 - a¹⁶)
Шаг 4. Добавим пятое слагаемое: 24/(1 - a¹⁶) + 24/(1 + a¹⁶) = 24(1 + a¹⁶) + 24(1 - a¹⁶) / [(1 - a¹⁶)(1 + a¹⁶)] = 24 · 2 / (1 - a³²) = 48/(1 - a³²)
Что и требовалось доказать.