Номер 1146 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1146.
Известно, что x1 и x2 – корни уравнения x2 – (2a – 5)x + a2 – 7 = 0.
При каком значении а выполняется равенство 2x1 + 2x2 = x1x2?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета: запиши сумму и произведение корней через параметр a. Затем подставь в условие 2x₁ + 2x₂ = x₁x₂ и упрости полученное уравнение относительно a.
Решение по шагам
У нас есть квадратное уравнение: x² – (2a – 5)x + a² – 7 = 0
Из теоремы Виета знаем:
- Сумма корней: x₁ + x₂ = 2a – 5
- Произведение корней: x₁x₂ = a² – 7
По условию задачи нужно найти a, при котором: 2x₁ + 2x₂ = x₁x₂
Шаг 1. Упростим левую часть условия: 2x₁ + 2x₂ = 2(x₁ + x₂)
Шаг 2. Подставим формулы из теоремы Виета: 2(x₁ + x₂) = x₁x₂ 2(2a – 5) = a² – 7
Шаг 3. Раскроем скобки: 4a – 10 = a² – 7
Шаг 4. Перенесём всё в правую часть: 0 = a² – 4a – 7 + 10 0 = a² – 4a + 3
Шаг 5. Решим квадратное уравнение a² – 4a + 3 = 0. Можно разложить на множители или использовать дискриминант. Разложение: (a – 1)(a – 3) = 0
Шаг 6. Найдём корни: a₁ = 1 или a₂ = 3
Шаг 7. Проверим, что оба значения дают два корня исходного уравнения (дискриминант D ≥ 0).
Для a = 1: Уравнение: x² – (2·1 – 5)x + 1² – 7 = 0 x² + 3x – 6 = 0 D = 9 + 24 = 33 > 0 ✓
Для a = 3: Уравнение: x² – (2·3 – 5)x + 3² – 7 = 0 x² – x + 2 = 0 D = 1 – 8 = –7 < 0 ✗
При a = 3 уравнение не имеет двух действительных корней, поэтому это значение не подходит.
Ответ: a = 1