Номер 1145 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1145.
При каких значениях а уравнение x² – 2ax + 3/x – 2 = 0 имеет единственный корень?
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши, когда дробь равна нулю. Рассмотри два случая: 1) квадратное уравнение в числителе имеет один корень (D = 0); 2) квадратное уравнение имеет два корня, но один из них равен 2 (исключается из области определения).
Решение по шагам
Сначала разберёмся с областью определения. Знаменатель x - 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2.
Умножим обе части уравнения на (x - 2), чтобы избавиться от дроби: (x² – 2ax)(x - 2) + 3 = 0
Раскроем скобки: x³ - 2x² - 2ax² + 4ax + 3 = 0 x³ - 2x² - 2ax² + 4ax + 3 = 0 x³ - (2 + 2a)x² + 4ax + 3 = 0
Подождите, перепроверим исходное уравнение. Оно выглядит как: (x² - 2ax + 3)/(x - 2) = 0
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Числитель: x² - 2ax + 3 = 0
Это квадратное уравнение. Оно имеет решения при D ≥ 0.
D = (-2a)² - 4·1·3 = 4a² - 12
Для единственного корня квадратного уравнения нужно D = 0: 4a² - 12 = 0 4a² = 12 a² = 3 a = √3 или a = -√3
Проверим, не совпадает ли этот корень с x = 2: При a = √3: x = 2a/2 = a = √3 ≠ 2 ✓ При a = -√3: x = -√3 ≠ 2 ✓
Однако, исходное уравнение может иметь единственный корень и в другом случае: если квадратное уравнение x² - 2ax + 3 = 0 имеет два корня, но один из них равен 2 (тогда он исключается из области определения).
Проверим: подставим x = 2 в числитель: 4 - 4a + 3 = 0 7 - 4a = 0 a = 7/4 = 1,75
При a = 1,75 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых x = 2. Второй корень по теореме Виета: x₁ + x₂ = 2a = 3,5 2 + x₂ = 3,5 x₂ = 1,5 ✓
Так что при a = √3, a = -√3 и a = 1,75 исходное уравнение имеет единственный корень.