Номер 929 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 929.
Докажите неравенство а² + 5 > 2а
💡 Подсказка (без ответа)
Перенесите все слагаемые в левую часть и выделите полный квадрат. Полный квадрат всегда неотрицателен (≥ 0), а если к нему добавить положительное число, получится строгое неравенство (> 0).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нам нужно доказать, что а² + 5 > 2а.
Докажем, переместив все в левую часть:
Напишем неравенство в другом виде: a² + 5 - 2a > 0
Переставим члены удобнее: a² - 2a + 5 > 0
Выделим полный квадрат. Заметим, что a² - 2a — это начало квадрата (a - 1)²: (a - 1)² = a² - 2a + 1
Поэтому запишем: a² - 2a + 5 = (a² - 2a + 1) + 4 = (a - 1)² + 4
Получилось: (a - 1)² + 4 > 0
Это всегда верно, потому что:
- (a - 1)² ≥ 0 для любого числа a (квадрат всегда неотрицательный)
- 4 > 0 (число положительное)
- Значит, сумма (a - 1)² + 4 ≥ 0 + 4 = 4 > 0
- Так как (a - 1)² + 4 всегда больше нуля, то и исходное неравенство а² + 5 > 2а верно для любого значения a.
Что и требовалось доказать!
Ответ: Неравенство а² + 5 > 2а верно для всех значений a. Это следует из того, что а² + 5 - 2а = (а - 1)² + 4, а (а - 1)² + 4 > 0 при любом a.