Номер 854 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 854.
Что больше: a³ + b³ или ab(a + b), если a и b − неравные положительные числа?
💡 Подсказка (без ответа)
Найди разность a³ + b³ − ab(a + b), сгруппируй слагаемые и вынеси общие множители. Подумай о знаке получившегося выражения при положительных неравных a и b.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно сравнить a³ + b³ и ab(a + b). Раскроем скобки справа и перенесём всё в одну часть.
Шаг 1. Раскроем ab(a + b): ab(a + b) = a²b + ab²
Шаг 2. Составим разность и сравним a³ + b³ − ab(a + b): a³ + b³ − a²b − ab²
Шаг 3. Сгруппируем слагаемые: a³ − a²b + b³ − ab² = a²(a − b) + b²(b − a) = a²(a − b) − b²(a − b) = (a − b)(a² − b²)
Шаг 4. Разложим a² − b² по формуле разности квадратов: (a − b)(a² − b²) = (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b)²(a + b)
Шаг 5. Анализируем знак полученного выражения:
- (a − b)² > 0, так как a ≠ b (по условию)
- (a + b) > 0, так как a и b − положительные
Поэтому (a − b)²(a + b) > 0
Вывод: a³ + b³ − ab(a + b) > 0, значит a³ + b³ > ab(a + b)