Номер 853 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 853.
Докажите, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство
$$ \frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$
💡 Подсказка (без ответа)
Возведи обе части неравенства в квадрат (они неотрицательны, поэтому это можно делать). Затем раскрой скобки и упрости выражение так, чтобы слева или справа получилась формула квадрата разности или суммы.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство (a+b)/2 ≤ √((a²+b²)/2).
Шаг 1: Обе части неравенства неотрицательны (левая часть — среднее арифметическое двух неотрицательных чисел, правая — квадратный корень). Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, и неравенство сохранит смысл.
Шаг 2: Возводим обе части в квадрат: ((a+b)/2)² ≤ (a²+b²)/2
Шаг 3: Раскрываем квадрат слева: (a+b)²/4 ≤ (a²+b²)/2
Шаг 4: Раскрываем (a+b)²: (a²+2ab+b²)/4 ≤ (a²+b²)/2
Шаг 5: Умножаем обе части на 4 (неравенство не меняется, так как 4 > 0): a²+2ab+b² ≤ 2(a²+b²)
Шаг 6: Раскрываем скобку справа: a²+2ab+b² ≤ 2a²+2b²
Шаг 7: Переносим всё в правую часть: 0 ≤ 2a²+2b²-a²-2ab-b²
Шаг 8: Приводим подобные: 0 ≤ a²-2ab+b²
Шаг 9: Узнаём формулу квадрата разности: 0 ≤ (a-b)²
Шаг 10: Квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому (a-b)² ≥ 0 верно для любых a и b.
Так как мы выполняли только обратимые операции (возведение в квадрат неотрицательных чисел), исходное неравенство также верно.
Что и требовалось доказать.