Номер 849 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 849.
Докажите неравенство:
а) c² + 1/2 ≥ c;
б) c/c² + 1 ≤ 1/2.
💡 Подсказка (без ответа)
а) Перенесите всё в левую часть, затем выделите полный квадрат из выражения c² - c. б) Приведите обе части к общему знаменателю и посмотрите, что получится в числителе — это должен быть полный квадрат со знаком минус.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
- Докажите неравенство: а) c² + 1/2 ≥ c
Перенесём всё в левую часть: c² + 1/2 - c ≥ 0
Переставим и сгруппируем: c² - c + 1/2 ≥ 0
Выделим полный квадрат. Возьмём выражение c² - c: c² - c = (c - 1/2)² - 1/4
Подставим обратно: (c - 1/2)² - 1/4 + 1/2 ≥ 0 (c - 1/2)² + 1/4 ≥ 0
Левая часть — это сумма квадрата и положительного числа. Квадрат всегда ≥ 0, поэтому вся сумма ≥ 1/4 > 0.
Следовательно, c² + 1/2 ≥ c доказано.
- Докажите неравенство: б) c/(c² + 1) ≤ 1/2
Перенесём всё в левую часть: c/(c² + 1) - 1/2 ≤ 0
Приведём к общему знаменателю: (2c - (c² + 1))/(2(c² + 1)) ≤ 0 (2c - c² - 1)/(2(c² + 1)) ≤ 0
Вынесем минус из числителя: -(c² - 2c + 1)/(2(c² + 1)) ≤ 0
Разложим числитель: -(c - 1)²/(2(c² + 1)) ≤ 0
Видим, что:
- (c - 1)² ≥ 0 всегда (квадрат)
- (c² + 1) > 0 всегда (сумма квадрата и единицы)
Поэтому числитель -(c - 1)² ≤ 0, знаменатель > 0, дробь ≤ 0.
Следовательно, c/(c² + 1) ≤ 1/2 доказано.