Номер 848 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 848.
Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с разности (a + 1/a - 2) и приведите её к общему знаменателю. Попробуйте заметить в числителе полный квадрат вида (a - 1)².
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что для любого положительного числа a выполняется неравенство: a + 1/a ≥ 2
Шаг 1: Возьмём произвольное положительное число a > 0.
Шаг 2: Рассмотрим выражение a + 1/a и вычтем из него 2: a + 1/a - 2
Шаг 3: Приведём к общему знаменателю a: (a² + 1 - 2a) / a = (a² - 2a + 1) / a
Шаг 4: Заметим, что числитель — это полный квадрат: (a² - 2a + 1) / a = (a - 1)² / a
Шаг 5: Анализируем полученное выражение:
- (a - 1)² ≥ 0 для любого a (квадрат любого числа неотрицателен)
- a > 0 по условию (число положительное)
Шаг 6: Следовательно: (a - 1)² / a ≥ 0
Шаг 7: Это означает: a + 1/a - 2 ≥ 0
Шаг 8: Отсюда получаем: a + 1/a ≥ 2
Что и требовалось доказать.
Примечание: Равенство a + 1/a = 2 достигается только когда a = 1, так как в этом случае (a - 1)² = 0.