Номер 850 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

Вспомни формулу полного квадрата: (x − m)² = x² − 2mx + m². Выдели такой квадрат из первых двух членов выражения, затем упрости и покажи, что результат всегда положительный.

а) Докажите, что a² − 6a + 14 > 0

Выделяем полный квадрат двучлена из выражения a² − 6a + 14:

1. Берём первые два члена: a² − 6a
2. Представляем в виде (a − 3)²: (a − 3)² = a² − 6a + 9
3. Значит: a² − 6a = (a − 3)² − 9
4. Подставляем в исходное выражение: a² − 6a + 14 = (a − 3)² − 9 + 14 = (a − 3)² + 5
5. Анализируем:
   • (a − 3)² ≥ 0 для любого a (квадрат числа не отрицателен)
   • (a − 3)² + 5 ≥ 5 > 0 для любого a

Вывод: a² − 6a + 14 > 0 ✓

б) Докажите, что b² + 70 > 16b

Переносим все в левую часть: b² − 16b + 70 > 0

Выделяем полный квадрат:

1. Берём первые два члена: b² − 16b
2. Представляем в виде (b − 8)²: (b − 8)² = b² − 16b + 64
3. Значит: b² − 16b = (b − 8)² − 64
4. Подставляем: b² − 16b + 70 = (b − 8)² − 64 + 70 = (b − 8)² + 6
5. Анализируем:
   • (b − 8)² ≥ 0 для любого b
   • (b − 8)² + 6 ≥ 6 > 0 для любого b

Вывод: b² − 16b + 70 > 0, то есть b² + 70 > 16b ✓