Номер 828 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 828.
Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время работы каждого комбайна за x и y. Используй то, что время совместной работы на 9 дней меньше времени первого и на 4 дня меньше времени второго. Составь два уравнения, исходя из того, что производительность двух вместе равна сумме их производительностей.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим за x дней — время, за которое первый комбайн соберёт весь хлопок, за y дней — время для второго комбайна.
Производительность (часть работы в день):
- первый комбайн: 1/x
- второй комбайн: 1/y
- оба вместе: 1/x + 1/y
Составим уравнения по условию:
Два комбайна работают на 9 дней быстрее, чем первый: x - 9 = время двух комбайнов Значит: 1/(1/x + 1/y) = x - 9
Два комбайна работают на 4 дня быстрее, чем второй: y - 4 = время двух комбайнов Значит: 1/(1/x + 1/y) = y - 4
Из этого следует: x - 9 = y - 4 y = x - 5 ... (уравнение 1)
- Найдём вторую связь. Время двух комбайнов: 1/(1/x + 1/y) = x - 9
Преобразуем: 1 = (x - 9)(1/x + 1/y) 1 = (x - 9) · (x + y)/(xy) xy = (x - 9)(x + y) xy = x² + xy - 9x - 9y 0 = x² - 9x - 9y 9y = x² - 9x ... (уравнение 2)
- Подставим y = x - 5 в уравнение 2: 9(x - 5) = x² - 9x 9x - 45 = x² - 9x 0 = x² - 18x + 45
Решаем квадратное уравнение: D = 324 - 180 = 144 x = (18 ± 12)/2 x₁ = 15 или x₂ = 3
Проверяем: Если x = 3, то y = -2 (отрицательное, не подходит) Если x = 15, то y = 10
Проверка: Производительность: 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6 Время двух комбайнов: 6 дней 6 = 15 - 9 ✓ 6 = 10 - 4 ✓