Номер 788 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 788.
Пусть а и b − корни трёхчлена x² + px + q, причём ab = 4 и $$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=3 $$. Чему рвноа а и чему равно b?
💡 Подсказка (без ответа)
Возведи условие √a + √b = 3 в квадрат, чтобы избавиться от корней. Получишь связь между a + b. Потом используй обе условия (сумма и произведение корней) — они определяют корни квадратного уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано: — a и b корни трёхчлена x² + px + q — ab = 4 — √a + √b = 3
Нужно найти a и b.
Шаг 1. Используем условие √a + √b = 3. Возведём обе части в квадрат: (√a + √b)² = 3² a + 2√a·√b + b = 9
Шаг 2. Упростим √a·√b: √a·√b = √(ab) = √4 = 2
Шаг 3. Подставим в уравнение из шага 1: a + 2·2 + b = 9 a + 4 + b = 9 a + b = 5
Шаг 4. Теперь у нас есть два условия: — a + b = 5 — ab = 4
Это значит, что a и b — корни квадратного уравнения: t² − (a+b)t + ab = 0 t² − 5t + 4 = 0
Шаг 5. Решаем это уравнение: По формуле: t = (5 ± √(25−16))/2 = (5 ± √9)/2 = (5 ± 3)/2
t₁ = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4 t₂ = (5 − 3)/2 = 2/2 = 1
Шаг 6. Проверим оба варианта: Если a = 4, b = 1: — ab = 4·1 = 4 ✓ — √a + √b = √4 + √1 = 2 + 1 = 3 ✓
Если a = 1, b = 4: — ab = 1·4 = 4 ✓ — √a + √b = √1 + √4 = 1 + 2 = 3 ✓
Оба решения подходят (это одно и то же решение, просто переставлены местами).