Номер 779 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 779.
Известно, что х1 и х2 - корни уравнения 3х2 + 2х + k = 0, причем 2х1 = -3х2. Найдите k.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй условие 2х₁ = -3х₂, чтобы выразить один корень через другой. Затем подставь это выражение в формулу суммы корней из теоремы Виета и найди сами корни. После этого найди k через произведение корней.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано уравнение: 3х² + 2х + k = 0, где х₁ и х₂ — его корни, и известно, что 2х₁ = -3х₂.
Шаг 1. Выразим х₁ через х₂
Из условия 2х₁ = -3х₂ получаем: х₁ = -3х₂/2
Шаг 2. Применим теорему Виета
Для уравнения 3х² + 2х + k = 0 по теореме Виета:
- Сумма корней: х₁ + х₂ = -2/3
- Произведение корней: х₁ · х₂ = k/3
Шаг 3. Найдём х₂ из условия суммы корней
Подставим х₁ = -3х₂/2 в первую формулу: -3х₂/2 + х₂ = -2/3
Приведём к общему знаменателю: -3х₂/2 + 2х₂/2 = -2/3 -х₂/2 = -2/3
Умножим обе части на (-2): х₂ = 4/3
Шаг 4. Найдём х₁
х₁ = -3х₂/2 = -3 · (4/3)/2 = -4/2 = -2
Шаг 5. Найдём k через произведение корней
х₁ · х₂ = k/3 (-2) · (4/3) = k/3 -8/3 = k/3 k = -8
Проверка: подставим k = -8 в уравнение 3х² + 2х - 8 = 0 и убедимся, что х₁ = -2 и х₂ = 4/3 являются корнями:
- При х = -2: 3(-2)² + 2(-2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0 ✓
- При х = 4/3: 3(4/3)² + 2(4/3) - 8 = 3 · 16/9 + 8/3 - 8 = 16/3 + 8/3 - 24/3 = 0 ✓