Номер 778 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 778.
Квадрат разности корней уравнения х² + рх + 405 = 0 равен 144. Найдите р.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета для суммы и произведения корней. Вспомни, как раскрывается скобка (х₁ - х₂)², и выражи х₁² + х₂² через (х₁ + х₂)² и х₁х₂.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни уравнения х² + рх + 405 = 0 как х₁ и х₂.
По теореме Виета:
- х₁ + х₂ = -р
- х₁ · х₂ = 405
По условию задачи: (х₁ - х₂)² = 144
Раскроем скобки: х₁² - 2х₁х₂ + х₂² = 144
Переставим слагаемые: (х₁² + х₂²) - 2х₁х₂ = 144
Выразим х₁² + х₂² через сумму и произведение корней: х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = (-р)² - 2·405 = р² - 810
Подставим в уравнение: р² - 810 - 2·405 = 144 р² - 810 - 810 = 144 р² - 1620 = 144 р² = 1764
Найдём р: р = ±42
Проверим оба значения:
- При р = 42: х² + 42х + 405 = 0, D = 1764 - 1620 = 144 > 0 ✓
- При р = -42: х² - 42х + 405 = 0, D = 1764 - 1620 = 144 > 0 ✓
Оба значения дают действительные корни.
Ответ: р = 42 или р = -42